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꼭 사고력의 기반 위에서 선행 심화를 하자.

1,2학년 때까지 수학적 사고력과 구체물 조작 경험을 충분히 가진 경우에는 최상위권의 자리를 굳건히 하기 위해 또래 친구들과 함께하는 토론수업 경험이 꼭 필요하다. 토론식 수업은 가장 합리적인 방법으로 오류 없이 정확히 문제를 풀어낼 수 있는 길을 스스로 발견하게 도와준다. 또한 자신의 논리적 오류를 발견하고 해결의 실마리를 찾으므로 사고력 시험때마다 범하는 잦은 실수를 막아 주며, 응용 문제나 심화 문제도 쉽게 풀수 있도록 도와준다.

합리적인 해결법을 강의식으로 전달하면 아이는 풀이 과정을 이해하는 것으로 끝나기 때문에 실제로 새로운 유형의 문제나 난이도 높은 문제를 해결하는 문제 해결력은 계발되지 않는다. 수학 문제를 해결하면서 아이 스스로 느끼는 깨달음의 즐거움이 수학 학습의 즐거움과 자신감으로 연결된다는 것을 명심하자. 수학적 사고력의 기본 틀이 어느 정도 잡힌 상태에서 선행이나 심화를 시작하면 특별한 설명이 없어도 아이 스스로 내용을 이해하고 교과 문제를 술술 풀어 나갈 수 있게 된다. 실제 우리나라의 8차 수학 교육 과정 개관을 살펴보면 최근의 연구 결과를 기반으로 저학년 때는 특히 구체물을 중심으로 하는 사고력 계발이 선행 심화 등의 교과 학습보다 우선되어야 함을 강조하고 있다.

우리나라의 실정에 맞는 가장 이상적인 수학 학습 방법을 도형을 예로 들어 설명하면 아래와 같다.

"도형에 대한 사고력 수업을 통해 원리를 충분히 이해하고, 적용할 수 있게 된 상태에서 학년을 거슬러 올라가며 도형 관련된 교과 문제를 푸는 것이다."

이때 선행 심화 속도는 철저히 아이 중심으로 맞춰야 한다. 이러한 방식으로 6학년까지 수학 사고력을 기반으로 해서 중등2, 3학년 정도까지의 심화 선행을 마치면 중등 영재교육원이나 특목고 진학이 충분히 가능하다. 요즘은 모든 특목고가 선행 문제를 출제하지 않는다. 문제 해결력을 보는 사고력  문제를 출제하기 때문에 수학에 대해 원래 타고난 아이가 아니고서는 교과 선행학습만으로는 좋은 결과를 기대하기 어렵다.

초등학교 2~4학년의 수학 사고력이 초등 고학년, 중등 수학 성적을 좌우한다. 그만큼 수학 학습에 승부수를 띄워야 하는 가장 중요한 시기이다. 초등 1학년 때는 비슷비슷하던 아이들의 실력이 이때부터는 차이가 나타나고, 강점과 약점이 드러나게 되므로 수학에 대한 흥미와 자신감을 잃지 않도록 꾸준히 관리해 주어야 한다. 예전처럼 엉덩이를 오래 붙이고 앉아 수학 문제를 푸는 아이보다 요즘은 적절한 시간에 합리적으로 문제를 풀고 독서와 실험탐구를 많이 하는 아이들이 창의적이고, 리더쉽도 강하며, 교내외 성적도 좋다는 것을 명심하자.

영재 사고력 수학, 박종훈

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포가티의 교과 간 통합 유형을 살펴보면 거미줄 모형에서 사고력 계발의 실마리를 찾을 수 있다. 거미줄 모형의 내용 중 한 구절을 인용해 보면 다음과 같다.

'다양한 학습 내용이 하나의 주제를 중심으로 재구성됨으로써, 전체를 관망할 수 있는 광범위한 시야를 제공하며 풍부한 주제가 교육 과정 내용으로 조직된다.'

사고력 계발은 거미줄 모형처럼 지식과 지식을 서로 연결해 나가는 과정이라고 생각하면 된다. 거미줄에 맺혀 있는 물방울은 머릿속에 있는 개념이며 거미줄은 그 개념들을 서로 연결하고 있다. 거미줄 모형은 누가 보더라도 안정적이고 조직적으로 엮여 있다. 만약 새로운 문제가 발생되더라도 여러 개념들을 서로 유기적으로 조직화하여 새로운 답안을 제시할 수 있다.

이렇게 개념을 중심으로 지식을 서로 연결하여 그 역량이 최상위가 된다면 전체를 관망할 수 있는 시야를 갖게 된다. 개념을 이어 나가는 거미줄은 다양한 문제를 해결해 나가는 과정 속에서 형성되고 연결된다.

수학은 본질적으로 스스로가 문제를 해결하지 않으면 성취도를 이루기 어려운 학문이다. 그래서 반드시 문제를 해결해 나가는 과정 속에서만 성장할 수 있으며 개념과 개념을 서로 연결하는 사이에 문제가 있어야만 하는 것이다. 반면 교과형 수학 문제는 단순한 연계형이라고 생각하면 된다.

아래 그림처럼 교과형은 지식의 구성이 한 방향으로만 전개되어 같은 개념, 유사한 개념이 아니면 서로 다른 지식을 구성하기가 쉽지가 않다. 이런 모형의 수학 학습은 KMO나 경시대회처럼 어떤 목적성을 갖고 매진하는 학습 스타일이다. 그렇기 때문에 다른 다양한 개념들을 탐구하기보다는 시험에 최적화된 학습 유형이다. 이런 이유로 저학년 때 이런 학습을 한다는 것은 큰 무리가 있을 수 있다.

쉬운 일은 아니지만 진정한 사고력 수학의 능력자는 서로 다른 개념의 문제가 있더라도 스스로 지식을 구성할 수 있는 능력과 함께 해결 방법을 한 가지 이상 제시할 수 있어야 진정한 사고력 수학의 최고라고 말할 수 있다.

영재 사고력 수학, 박종훈

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과학 수업에서 실험이 중요하듯이 수학을 어려워하는 아이들에게는 수학 수업에서도 그림을 활용해야 한다고 생각한다. 남이 들려주는 이야기로만 이해하기보다 눈으로 한 번 보는 것이 머릿속에 더욱 오래 기억되게 마련이다.

그림이 없는 문제가 나왔을 때 문제 해결을 위한 실마리를 찾아내는 데 어려움을 겪는 친구들이 많다. 하지만 신기하게도 문제 옆에 간단한 그림을 그려 첨삭해 주면 어렵게만 느끼던 문제의 실마리를 잘 찾아낸다. 수학문제에서 그림이 표현해 주는 영향은 매우 크다. 그림이 들어 있는 문제와 그렇지 않은 문제의 차이점에 대해 예를 들어 살펴보자.

옆의 두 문제는 똑같은 문제이다. 조금 차이가 있다면 하나는 그림이 없고, 하나는 아주 간단하지만 네모 박스 모양의 그림을 넣어 주었다는 것이다. 보기에 어떤 문제가 더 쉽게 느껴지는가? 아마도 대부분 그림이 들어가 있는 문제를 좀 더 쉽게 느낄 것이다. 그리고 이 문제를 어떤 방식으로 해결해야 할지 머릿속으로 정리가 될 것이다. 같은 문제임에도 불구하고 왜 이렇게 다르게 생각할까?

사고력 문제이든 교과 문제이든 초등학교 저학년의 수학 문제를 한 번 생각해 보자. 초등학교 저학년의 문제에는 좀 더 수월하게 해결할 수 있게 그림이나 색깔이 많이 들어간다. 하지만 고학년이 되면서 문제에서 점점 그림이나 색깔이 사라지고 온통 숫자 혹은 글씨만 채워진다. 그림은 곧 힌트이며 그 문제를 해결하기 위한 문제 해결 전략을 보여 주는 시작이기도 하다.

고학년이 되면 당연히 공식을 써서 문제를 해결하는 방법을 사용해야 한다. 하지만 제대로 된 식을 적어가면서 문제를 해결하는 것은 말처럼 그리 쉬운 일이 아니다.

필자는 식을 잘 세우지 못하는 학생들이나 문제를 어떻게 해결해 나가야 할지 실마리를 찾지 못하는 학생들에게 이런 말을 자주 한다.

" ** 야! 그림으로 그려 보면 어떨까?"

필자는 수학 문제를 해결할 때 대개 그림을 그릴 것을 권한다. 이는 수학 문제를 시각화 하자는 의미인데 머리로만 막연히 상상하는 것보다 시각적인 효과가 더 크기 때문이다.

앞에서도 언급한 바와 같이 수학은 추상성이 강한 학문이다. 그렇기 때문에 더욱 시각적으로 보여 주고 표현해야 문제를 쉽게 해결할 수 있다. 학생들은 처음 문장과 숫자로만 가득하던 지문을 읽었을 때와 달리 그림이나 서식을 그리면 문제를 달리 보게 된다. 같은 문제임에도 불구하고 문제를 훨씬 쉽게 받아들이고 결국 풀이도 더욱 쉬워진다.

물론 우리가 배운 공식을 바탕으로 제대로 된 식을 세워 문제를 해결하는 것이 올바른 방법이다. 하지만 식을 세워 문제를 해결하는 것에 어려움을 겪는다면 꼭 그렇게 어려운 해결법보다 그림으로 표현하여 자신만의 방법으로 문제를 해결 나가도 된다.

다른 측면에서 생각해 보면 그런 방법을 통한 수학 학습 방법이 오로지 공식에만 의존하여 문제를 해결하는 것보다 오히려 아이들의 사고력 개발에 더 도움이 될 수 있다.

분명 아이가 새로운 문제를 해결하기 위해 다양한 사고를 하면서 그림이나 서식이 나타난 것이므로 새로운 문제 해결 전략을 보여 준 것이라 말할 수 있을 것이다.

이러한 연습을 계속해 보면 고학년이 되었을 때 어느새 머릿속으로 문제를 도식화하는 자신을 발견할 수 있을 것이다. 글자와 공식으로만 정리된 문제를 쉽게 이해하는 것이 문제 풀이의 시작이다. 어려운 방법이 아닌 그림을 통해 문제를 효과적으로 이해해 보자.

영재 사고력 수학, 박종훈

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수학 문제를 푸는 것이 책을 많이 읽는 것과 무슨 관계가 있다는 말이지? 라고 생각하는 사람들이 있을 것이다. 하지만 수학을 오랫동안 지도해 본 경험이 있거나 최근의 수학 학습 트렌드를 이해한다면 충분히 공감할 수 있는 이야기다.

필자는 수업 시간에 문제를 잘 이해하지 못하는 학생들에게 이렇게 묻는다.

"혹시 너 책은 많이 읽는 편이니?"

그럼 대부분의 학생들이 "아니오." 라고 대답한다.

글을 많이 읽어 본 경험이 없는 학생들은 확실히 독해력이 떨어지고 문제에 나와 있는 정보들을 효과적으로 정리하지 못해 그저 문제가 어렵다고만 생각한다. 그런 경우는 교과 수학에서도 나타나는 현상이지만 특히 사고력 수학 문제에서 그 증상이 더욱 심해지게 마련이다.

요즘은 사고력 문제가 대세라고 할 정도로 교과에서도, 학원에서도 그 중요성을 강조하고 있다. 학생들이 각자의 학습 수준에서 해결하지 못할 수학 문제는 없다. 다만 학생들은 문제에 나와 있는 많은 정보를 찾지 못해 수학을 어렵게만 느끼는 것이다.

수학은 정보 찾기 싸움이다. 형사가 사건의 모든 과정을 퍼즐로 맞춰 나가듯이 논리 정연하게 해석하는 것처럼 학생도 수학 문제에 들어 있는 정보들을 잘 찾아내어 순서에 맞게 풀어 나가는 것이 중요하다. 만약 내 아이가 문제를 잘 이해하지 못하고 문장이 긴 수학 문제를 읽는 것조차 싫어한다면 먼저 꾸준한 독서를 권한다.

우선 글이나 문장과 익숙해져야 긴 서술형 지문을 읽는 것에 거부감을 느끼지 않는다. 문제를 읽는 것에서 어려움을 느낀다면 답을 찾는 것은 더욱 어렵다. 우선 서술형 문제를 부담없이 읽어 내고 효과적으로 해석할 수 있도록 독해력을 키워야 할 것이다.

영재 사고력 수학, 박종훈

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아침에 눈을 뜰 때부터 다시 잠들 때까지 우리는 수없이 많은 의사결정을 한다. 단순하게 '어떤 옷을 입을까?'부터 회사에서의 업무 결정, 시험 시간의 답안의 결정 등. 우리는 잘 느끼지 못하지만 짧은 순간순간 머릿속에서 본인만이 갖고 있는 지식적, 경험적 데이터를 갖고 통계 처리를 통하여 가장 현명한 의사결정을 하려고 노력한다. 하지만 데이터나 통계의 오류로 인하여 현명하지 못한 판단을 내릴 때도 있다. 이러한 행동이나 판단은 수학적인 논리로 구분되어질 수 있다.

사례10. 실업률과 여행사의 알 수 없는 관계

몇 년 전 지인들과 식사 모임을 하는데 어떤 분의 이야기를 듣고 조금은 의아한 생각이 든 적이 있다.

"얼마 전 뉴스를 보는데 청년 실업자가 많아서 문제라는 거야. 그래서 내가 여행사 주식을 샀지."

그래서 내가 다시 물었다.

"청년 실업률과 여행사가 무슨 관계가 있다고 주식을 사셨어요?"

"아, 이사람, 생각해 봐. 청년 실업자가 많으면 아무래도 시간이 있으니까 여행을 자주 다닐 수 있잖아. 그래서 여행사 주식을 샀지."

"아, 네. 그렇군요."

지인 분께는 그럴 수도 있겠다고 맞장구를 쳐 주었지만 사실 나의 생각은 좀 달랐다.

위의 사례를 보면 당장 직장을 구해야 할 사람들이 한가롭게 해외여행을 다닌다는 것이 필자의 상식으로는 이해가 되지 않았다. 그래서 필자는 그때부터 여러 여행사의 주식을 주의 깊게 살펴보기 시작하였다. 한 달 정도 넘는 기간 동안 여행사 주식은 떨어지면 떨어졌지 거의 오르지 않았다. 사회 전반적인 경기 침체로 인해 그 여파가 여행사에 고스란히 직격탄을 날리기도 했다.

위의 사례에서 보듯이 논리적이지 못한 사고는 심할 경우 금전적인 피해를 줄 수 있다. 언뜻 듣기에는 그럴듯해 보여도 조금만 주의 깊게 생각하면 전혀 논리성이 없는 말이다. 자세히 살펴보면 이런 사례를 우리 주변에서 심심치 않게 볼 수 있다.

사례11. 영업사원의 전략

마찬가지로 필자가 몇 년 전 신문에서 본 기사를 소개하려고 한다. 어느 자동차 회사 영업사원이 그해 '세일즈 왕'으로 선발이 되었다는 기사였다. 이 영업사원이 어느 날 신문에서 '농산물 풍년'이라는 기사를 보고 그 즉시 가락동 농산물 시장을 비롯하여 몇몇 농산물 시장에 전단을 돌렸다고 한다.

왜 그랬을까? 농산물 풍년과 자동차가 무슨 관계가 있을까? 실제로 이 사람은 농산물 시장에서 5대 정도의 1톤 트럭을 팔았다고 한다. 농산물이 풍년이니 당연히 출하량이 많을 것이고, 그러면 자연스럽게 그 농산물을 운송해야 하는 교통수단이 더 필요할 것이라고 예측했다는 것이다.

위의 경우는 오랜 영업 생활을 통해 문제를 해결한 사례이다. 그러나 기본적으로 남들과 다르게 생각한다거나 아니면 관련이 없어 보이는 다른 영역들이 서로 연결 고리를 가지고 있는지를 고민하여 긍정적 효과인지 부정적 효과인지를 판단해 내는 사고를 한 것이라고 보아야 한다.

우리는 살아가는 데 있어서 무수한 경우의 수를 만나게 된다. 그러한 경우 중에서 나에게 유리하고 긍정적인 에너지를 발휘할 수 있는 논리적인 의사결정은 어쩌면 수학이라는 과목에서 충분히 얻어낼 수 있는 학습 요소일 것이다.

수학은 이렇게 단순한 암기 과목이 아닌 우리 생활에서 직접적인 연결고리를 갖고 있는 학문이다. 그러므로 시간적, 금전적 손해를 보지 않기 위해서라도 어느 정도는 수학적인 관점으로 세상을 바라보는 안목을 키워야 한다. 그것이 바로 우리가 수학을 공부하는 이유 중의 하나라고 할 수 있다.

우리 생활은 끊임없는 수학적 사고의 연속이다. 예를 들어 같은 제품을 마트에서 구입하더라도 할인카드의 할인율을 따지거나, 온라인 구매의 효율성을 고려하는 모든 상황에서 수학이 필요하다. 또한 주식투자를 할 때, 집을 구입할 때도 각종 경제지표들을 보고 어느 정도 손익을 따져보는 논리적인 사고력이 필요하다.

영재 사고력 수학, 박종훈

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