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과학 수업에서 실험이 중요하듯이 수학을 어려워하는 아이들에게는 수학 수업에서도 그림을 활용해야 한다고 생각한다. 남이 들려주는 이야기로만 이해하기보다 눈으로 한 번 보는 것이 머릿속에 더욱 오래 기억되게 마련이다.

그림이 없는 문제가 나왔을 때 문제 해결을 위한 실마리를 찾아내는 데 어려움을 겪는 친구들이 많다. 하지만 신기하게도 문제 옆에 간단한 그림을 그려 첨삭해 주면 어렵게만 느끼던 문제의 실마리를 잘 찾아낸다. 수학문제에서 그림이 표현해 주는 영향은 매우 크다. 그림이 들어 있는 문제와 그렇지 않은 문제의 차이점에 대해 예를 들어 살펴보자.

옆의 두 문제는 똑같은 문제이다. 조금 차이가 있다면 하나는 그림이 없고, 하나는 아주 간단하지만 네모 박스 모양의 그림을 넣어 주었다는 것이다. 보기에 어떤 문제가 더 쉽게 느껴지는가? 아마도 대부분 그림이 들어가 있는 문제를 좀 더 쉽게 느낄 것이다. 그리고 이 문제를 어떤 방식으로 해결해야 할지 머릿속으로 정리가 될 것이다. 같은 문제임에도 불구하고 왜 이렇게 다르게 생각할까?

사고력 문제이든 교과 문제이든 초등학교 저학년의 수학 문제를 한 번 생각해 보자. 초등학교 저학년의 문제에는 좀 더 수월하게 해결할 수 있게 그림이나 색깔이 많이 들어간다. 하지만 고학년이 되면서 문제에서 점점 그림이나 색깔이 사라지고 온통 숫자 혹은 글씨만 채워진다. 그림은 곧 힌트이며 그 문제를 해결하기 위한 문제 해결 전략을 보여 주는 시작이기도 하다.

고학년이 되면 당연히 공식을 써서 문제를 해결하는 방법을 사용해야 한다. 하지만 제대로 된 식을 적어가면서 문제를 해결하는 것은 말처럼 그리 쉬운 일이 아니다.

필자는 식을 잘 세우지 못하는 학생들이나 문제를 어떻게 해결해 나가야 할지 실마리를 찾지 못하는 학생들에게 이런 말을 자주 한다.

" ** 야! 그림으로 그려 보면 어떨까?"

필자는 수학 문제를 해결할 때 대개 그림을 그릴 것을 권한다. 이는 수학 문제를 시각화 하자는 의미인데 머리로만 막연히 상상하는 것보다 시각적인 효과가 더 크기 때문이다.

앞에서도 언급한 바와 같이 수학은 추상성이 강한 학문이다. 그렇기 때문에 더욱 시각적으로 보여 주고 표현해야 문제를 쉽게 해결할 수 있다. 학생들은 처음 문장과 숫자로만 가득하던 지문을 읽었을 때와 달리 그림이나 서식을 그리면 문제를 달리 보게 된다. 같은 문제임에도 불구하고 문제를 훨씬 쉽게 받아들이고 결국 풀이도 더욱 쉬워진다.

물론 우리가 배운 공식을 바탕으로 제대로 된 식을 세워 문제를 해결하는 것이 올바른 방법이다. 하지만 식을 세워 문제를 해결하는 것에 어려움을 겪는다면 꼭 그렇게 어려운 해결법보다 그림으로 표현하여 자신만의 방법으로 문제를 해결 나가도 된다.

다른 측면에서 생각해 보면 그런 방법을 통한 수학 학습 방법이 오로지 공식에만 의존하여 문제를 해결하는 것보다 오히려 아이들의 사고력 개발에 더 도움이 될 수 있다.

분명 아이가 새로운 문제를 해결하기 위해 다양한 사고를 하면서 그림이나 서식이 나타난 것이므로 새로운 문제 해결 전략을 보여 준 것이라 말할 수 있을 것이다.

이러한 연습을 계속해 보면 고학년이 되었을 때 어느새 머릿속으로 문제를 도식화하는 자신을 발견할 수 있을 것이다. 글자와 공식으로만 정리된 문제를 쉽게 이해하는 것이 문제 풀이의 시작이다. 어려운 방법이 아닌 그림을 통해 문제를 효과적으로 이해해 보자.

영재 사고력 수학, 박종훈

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사과나무 아래를 걸어가다가 떨어지는 사과를 보았다. 우리는 만유인력을 발견했다고 외칠 수 있는가? 대답은 '아니올시다. 그럴 리가 없지요.' 라고 할 것이다. 그렇다면 탕 안에 가득 물이 들어있는 목욕탕에 들어가서 쏟아지는 물을 보면서 '유레카!'라고 외칠 수 있을까? 역시 대답은 '아니올시다. 그럴 리가 없지요.' 라고 할 것이다.

왜 그럴까? 그것은 같은 현상이라도 발견할 수 있는 '선험지식'을 가지지 못했기 때문이다. 여기다 또 한 가지가 있다. 그것은 몰입 상태에 있지 않기 때문이다.

세상을 변하게 만든 과학적 지식의 발견은 선험지식과 몰입이라는 두 가지가 있어야 한다. 그러니까 선험지식을 많이 가질수록 질 높은 몰입의 경지에 이른다는 것이다. 과학자들은 몰입의 대가들이다. 아인슈타인도 몰입의 대가였다. 아인슈타인의 몰입의 정도를 느끼게 하는 에피소드가 있다.

어느 날 아인슈타인이 집에 남아 연구를 하고 있을 때다. 아인슈타인의 아내가 밖으로 나가면서 말했다.

" 난로 위에 물 있으니, 배고프면 계란을 삶아 먹도록 해요."

아인슈타인은 대답을 하고 몰입을 계속하였다. 아인슈타인은 배가 고픈 것을 알고 책에서 눈을 떼지 않은 채 계란을 집어서 끓는 물 속에 넣었다. 잠시 후 몰입에서 깨어나 물통 안을 들여다본 아인슈타인은 웃음을 터트리고 말았다. 물통 속에는 계란이 아닌 시계가 들어있는 것이 아닌가? 너무나 몰입해 있어서 시계가 계란인줄 착각하고 집어넣었다는 이야기다.

유레카가 그리스시대에 아르키메데스가 외친 말이다. 왕이 아르키메데스에게 물었다.

"이 왕관이 정말로 순금으로 만든 게 맞느냐?"

"그거야 간단하지요. 녹여 보면 알 수 있잖아요."

"난 이 아름다운 왕관을 그대로 두고 싶어. 녹여서는 안 돼. 하지만 순금으로 만들었는지 알아야겠어. 자네가 그걸 해야겠어."

"예? 왕관을 녹이지 않고 순금인지 알아보라고요?"

아르키메데스는 난감했다.

'어떻게 녹이지도 않고 순금인지 알 수 있단 말이야.'

솜씨 좋은 왕관 제조업자가 금을 빼돌렸다는 소문을 들은 왕은 소문이 맞는지 확인하고 싶었다. 하지만 왕관의 모습을 바꾸기 싫어서 아르키메데스를 찾은 것이다. 왕의 앞에서 물러나면서 아르키메데스는 생각해보았다.

'녹이지 않고 어떻게 순금인지 알 수 있을까?'

아르키메데스는 집에서도, 길을 갈 때도 왕관만 생각했다. 그러나 답은 나오지 않았다. 아르키메데스는 지친 몸을 쉬려고 목욕탕에 갔다. 탕 안에는 물이 가득했다. 탕 안으로 들어가자 물이 쏟아져 나왔다. 한결 몸이 가벼워지는 느낌이 들었다.

'왜 이렇게 몸이 가볍지?'

탕 안에 들어간 아르키메데스는 눈을 감고 생각했다.

'그래, 가볍다고 느낀 것은 쏟아진 물 때문이야. 쏟아진 물은 물속에 잠긴 내 몸의 부피와 같아. 그 때문에 가벼워진 거야. 금관의 부피도 그렇게 잴 수 있어. 그리고 왕관의 부피만큼 금과 은을 모아 저울에 비교하면 알 수 있어.'

이렇게 생각한 아르키메데스는 옷도 입지 않은 채 목욕탕 안에서 뛰쳐나왔다.

"유레카, 유레카!"

아르키메데스는 옷도 입지 않고 길거리로 나와 궁궐로 달려간 것이다. 호기심만으로 과학자를 만드는 데는 한계가 있다. 관련 지식과 몰입이 같이 있을 때 가능한 것이다.

기초지식에 튼튼한 과학적 지식과 호기심이 있을 때 아르키메데스가 나오고 뉴턴과 아인슈타인이 나오지 않을까?

푸르넷 뉴스, 2015년 6월호, 금성출판사

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▶ 작년 3조 2289억... 2013년보다 22%급증 1인당 월평균 10만 8400원

지난해 영유아(만0~5살 취학 전 아동)를 대상으로 한 전체 사교육비가 2013년에 비해 20% 넘게 치솟은 것으로 나타났다. 이들 사교육의 대부분은 부작용이 우려되는 영어 조기교육에 치우쳐 있어 대책 마련이 필요한데도 정부가 손을 놓고 있다는 지적이 나온다.

22일 국무총리실 산하 육아정책연구소가 내놓은 '영유아 교육, 보육비용 추정 연구'자료를 보면, 2014년 영유아 총사교육비 규모는 3조 2289억원으로 전년도(2013년 2조 6415억원)보다 5874억원(22%) 늘었다. 아이 1명당 월평균 사교육비는 10만8400원으로 2013년(7만8900원)보다 3만원 늘었다. 같은 기간 초중고 학생 사교육비 증가분(3000원)의 10배 수준이다. 이번 분석은 영유아 자녀를 둔 전국 100개구의 2500여 가구를 대상으로 전문면접원의 방문조사 결과를 토대로 이뤄졌다.

영유아 사교육비 증가는 전반적인 사교육 참여가 늘어난 결과다. 2012년 같은 조사에서 '(영유아) 사교육비를 지출한다'고 밝힌 가정이 63.7%였는데, 2014년에는 74.3%로 10%포인트 남짓 늘었다. 특히 유아(만3~5살) 단계에서는 사교육을 시키는 가정이 94%나 됐다. 서울 화곡동에 살고 있는 구아무개(34)씨는 "유치원에 다니는 5살 아이한테 한글과 영어, 창의성 교육을 따로 하고 있다. (효과가 있는지) 의구심이 들어도 다른 엄마들이 많게는 10여개씩 홈스쿨링(방문교육)이나 문화센터 수업을 시키니까 어쩔 수 없다"고 말했다.

고소득층의 사교육비 지출이 크게 늘어난 점도 사교육비 증가의 주된 원인으로 풀이된다. 월가구소득 399만원 이하 가정의 영유아 사교육비는 1년 새 큰 차이가 없는데, 500만원 이상 가구는 11만6500원(2013년)에서 24만8500원(2014년)으로 2배 넘게 늘었다. 평균 사교육비는 사교육을 받지 않은 아동까지 포함한 통계값이어서 체감하는 것보다 낮다. 강남 지역의 한 학부모(38)는 "영어유치원만 보내도 비용이 월 100만원"이라며 "사교육 좀 시킨다 하는 엄마들은 콧방귀 뀔 통계"라고 짚었다.

사교육 대부분이 영어 교육에 쏠린 것도 문제다. 어린이집과 유치원 방과후 활동의 각각 84.3%와 62.8%가 영어 과목에 집중돼 있다. 반일제 학원에 다니는 유아가 2013년에 비해 2배 넘게 늘었는데 그 중 54.3%가 영어학원에 다닌다. 사교육걱정없는세상의 임미령 영유아사교육포럼 대표는 "영유아 단계에서 학습 위주의 조기교육의 부작용은 이미 교육학계의 검증이 끝났다. 실외 놀이교육이 국제적인 추세인 만큼 정부가 영유아 교육기관의 방과후 프로그램 다양화와 검증, 반일제 학원 규제 등에 적극적으로 나서야 한다"고 짚었다.

푸르넷 뉴스, 2015년 6월호, 금성출판사

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▶ 초등에선 분수, 소수 나눗셈 유지, 고교 문과에 여전히 미분, 적분

초,중,고교에서 3년 뒤부터 적용할 예정인 수학 교육과정 개정 시안이 1일 공개됐다. 교육부는 '쉬운 수학', '학습량 80%로 감축'을 강조해왔다. 그러나 이번 시안이 학습 내용을 그다지 줄이지 않은데다 어려운 단원을 추가하기도 해 "이래선 오히려 '수포자'(수학 포기자)를 늘릴 가능성이 있다"는 비판이 나온다. 교육부와 한국과학창의재단은 이날 서울 건국대에서 공개토론회를 열어 '2015개정 수학과 교육과정 시안 개발 정책 연구' 결과를 공개했다. 박경미 홍익대 교수(수학교육) 등 연구진 37명은 학습 부담 경감 실현 등을 개정 방향으로 잡고 지난해 11월부터 연구해왔다.

논란이 된 주요 내용을 보면, 초등학교 시안에서 연구진은 헥타르 등 활용 빈도가 낮은 개념을 삭제해 부담을 줄이려 한다고 했다. 그러나 분수와 소수의 나눗셈, 원주율 등 어려운 내용을 유지한 대목이 비판을 샀다. 초등 6학년생의 발달 단계에 비춰 이해하기 어려운 학습 내용을 남겨둬, 학습 부담을 줄이지 못하리라는 진단이 나왔다.

수포자가 가장 많이 발생한다는 중학교 개정안은 되레 어려워지고 학습 내용도 늘렸다는 반론이 거셌다. 연구진은 '활용 문제' 대폭 축소를 제안했다. 수학 지식이 일상생활에 연관돼 있음을 익한다는 취지와 달리, 난이도가 높은 문제들로 지목된다는 이유에서다. 하지만 실생활 활용 제고라는 교육과정 총론 개정 방향과도 배치된다는 비판이 나온다. 박동익 서울 선사고 교사는 "지식의 단순한 적용을 넘어 일상적 지식과 접목시키는 기본명제를 잃어선 안 된다"고 말했다.

중학교 2학년부터 배우는 기하, 도형의 '증명'을 유지한데다, 상관관계를 새로 넣고 중~고에 걸쳐 배우던 2차함수를 중학교로 내리는 방안이 제시됐다. 기하,도형의 증명은 중2때 수포자가 가장 많이 생긴다는 지적을 받은 악명 높은 단원이다.

고교 시안은 1학년 '통합 수학' 과목에서 수열 등을 2학년으로 이동하고, 어려운 일부 단원(확률과 통계의 분할, 공간벡터) 내용을 줄였다. 그러나 문과 학생이 선택할 수학1과 수학2에 미적분을 그대로 뒀고, 고난도 단원(지수함수, 삼각함수)을 추가했다. 미적분은 문과 학생 가운데 대학 상경계열 진학 희망자들한테 필요하다지만, 대체로 학습 부담을 가중시키는 영역으로 꼽혀왔다.

3년 전부터 '수포자 해결'을 본격적으로 제기해온 교육시민단체 '사교육 걱정 없는 세상'은 "수학 학습량이 초등은 종전대로, 중학교 3학년은 10% 증가, 고교 문과는 10% 증가로 귀결될 수포자 증가 방안"이라고 비판했다. 이들은 교육부에 특단의 대책 마련을 촉구하는 서명운동과 거리행진을 벌인 뒤 공개토론회장에서 이런 구호가 적힌 팻말을 든 채 방청하는 시위를 벌였다. 교육부는 앞으로 연구진의 교사 비율을 지금의 30%에서 40%로 늘려 교과서 개발 방향 등을 마련해 공청회를 연 뒤, 9월에 2015 개정 교육과정을 최종 고시할 예정이다.

푸르넷 뉴스, 2015년 6월호, 금성출판사

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2010년 서울에서 열린 G20 폐막 기자 회견장에서 있었던 일이다. 이곳에 국내 기자와 외신기자들이 자리하고 있다. 여러 기자의 질문을 받던 미국 오바마 대통령은 마지막 질문은 주최국인 한국 기자들에게 주고 싶다는 친절을 베푼다. 순간 한국 기자들이 손을 들고 기회를 얻으려고 했을까. 넓은 기자 회견장은 오히려 조용해진다. 재차 대통령이 같은 이야기를 해도 어색한 침묵만이 흐른다. 급기야 오바마는 영어를 잘 하지 못하면 통역을 이용해도 된다는 농담 아닌 농담까지 던진다. 질문자가 없냐고 몇 번을 물었지만 여전히 조용하다. 이때 중국 기자가 어색한 분위기를 모면하기 위해서인지 아니면 욕심이 있어서인지 자기가 대신 해도 되겠냐며 오바마 대통령에게 부탁한다. 오바마 대통령은 다시 질문을 원하는 한국 기자들을 찾지만 역시나 아무런 반응이 없다. 결국 중국 기자가 질문을 한다.

오래 전 일이지만 이 영상은 최근에 자주 본다. 특히 교실에서 질문을 하지 않는 아이들의 모습을 이야기할 때 관련 영상으로 거론된다. 교실에서 질문을 하지 않는 교육을 성찰하기 위한 자료가 되고 있다.

이런 문화는 교실에서 싹튼 측면이 있다. 산업 사회에서 집단화된 교육 형태는 짧은 시간에 많은 정보를 전수받는다. 선생님은 개인의 궁금증보다는 학급 전체에 필요한 지식을 쏟아부어야 한다. 그것도 모자라는데 개인에게 질문 시간을 줄 수도 없다. 오히려 질문을 하면 많은 학생들의 시간을 빼앗는 경우만 된다. 결국 질문을 하면 선생님께 아이들에게 비난을 받는다. 우리 아이들을 질문의 문맹자로 만들어 버린 이유이다.

질문에 대한 오해도 있다. 배움이란 본질적으로 남에게 물어야만 가능한데, 그것을 창피하게 생각한다. 질문을 하면 나의 무지함을 드러내는 것으로 인식하고 있다. 그래서 질문을 하고 싶은데도 마음속에 숨기고 있는 것이다.

질문하는 학습 형태로 하브루타 교육이 화제다. 유태인의 교육 방식으로 상대방과 상호질문 대답하며 토론으로 문제를 해결하고 결론을 도출하는 방식이다. 이러한 전통은 이스라엘의 가정교육에서부터 시작하는 후츠파 정신에서 비롯한다. 후츠파 정신은 어릴 때부터 형식과 권위에 얽매이지 않고 끊임없이 질문하고, 도전하며 때로는 뻔뻔하면서도 자신의 주장을 당당히 밝히는 것이다. 이것이 뿌리가 되어 세계 인구의 0.2%밖에 되지 않는 유태인이 지금까지 노벨상의 22%의 주인이 되었다.

조벽 교수의 저서에서 최상의 수업 조건을 제시했는데 이것도 질문과 연관되어 있다. 여기에서 교사가 묻고 교사가 답하면 최하급의 수업이라고 한다. 이보다 조금 발전된 수업이 교사가 발문하고 학생이 답하는 것이다. 그리고 학생이 질문하고 교사가 답하면 바람직한 수업이다. 그리고 학생이 질문하고 학생이 답하면 최상의 수업이라고 한다.

수업 시간에 학생이 질문하고 학생이 답하는 것이 이상적이라고 했지만, 현실적으로 수업시간은 일차적으로 교사의 질문으로 시작된다. 교사의 좋은 질문 사용 방식은 학생들의 질문을 이끌어 내는데 효과적이다. 동서양을 대표하는 인류의 스승 공자와 소크라테스도 제자들에게 일방적으로 가르치기보다는 끊임없이 질문을 던져 답을 찾도록 했다. 질문은 정답을 묻는 행위가 아니라 학생에게 이유를 던져 호기심을 유발하는 것이어야 한다. 이때도 교사의 질문은 제한적이어야 한다. 교사가 질문을 독점하면 교사 중심으로 수업이 진행될 수 있다.

수업의 의미를 다시 생각해야 한다. 수업은 교사의 가르치는 능력을 발휘하는 시간이 아니라, 학생들이 무엇인가 배울 수 있도록 도와주는 시간이다. 교사가 학생들의 입장을 생각하지 않고 일방적으로 가르치는 행위는 학생들의 생각을 파괴하는 일이다. 학생은 수업의 대상이 아니라 지식을 만들어 가는 주체이고, 교사도 학생과의 소통과 협력을 통해 배움을 형성한다. 수업 시간에 자기 생각을 만들고 나누는 과정을 통해 진정한 배움과 가치를 내면화하는 수업을 해야 한다. 그러기 위해서는 교사는 학생들이 끊임없이 의문을 갖도록 도와야 한다. 이 방법은 당장 시간이 걸리는 것처럼 보이지만 내면의 변화를 통해 성장할 수 있도록 자극한다. 그래서 그들이 스스로 질문을 찾도록 유도해야 한다. '왜냐고' 질문하는 순간 학생들은 스스로 문제를 인식하고 해답을 찾아가면서 비로소 완전해진다.

푸르넷 뉴스, 2015년 6월호, 금성출판사

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